[ilingku:060]
[00:00.00]本字幕由TME AI技术生成
[00:01.41]三
[00:02.65]把空间翻过来
[00:05.61]到目前为止
[00:07.21]我们所讨论的都是各种曲面
[00:10.29]也就是二维空间的拓扑学性质
[00:14.12]我们同样也可以对我们生存在内的这个三维空间提出类似的问题
[00:21.11]这么一来
[00:22.29]地图着色问题在三维情况下就变成了用不同的物质制成不同形状的镶嵌体
[00:30.89]并把它们拼成一块
[00:33.15]使得没有两块同一种物质制成的子块有相同的接触面
[00:39.29]那么
[00:40.07]需要用多少种物质
[00:43.49]什么样的三维空间对应于二维的球面或环状圆纹曲面呢
[00:50.17]能不能设想出一些特殊空间
[00:53.69]它们与一般空间的关系正好同球面或环状面与一般平面的关系一样
[01:01.91]乍一看
[01:03.05]这个问题似乎提的很没有道理
[01:06.57]因为尽管我们能很容易的想出许多式样的曲面来
[01:11.71]但却一直倾向于认为只有一种三维空间
[01:16.39]即我们所熟悉并在其中生活的物理空间
[01:21.03]然而
[01:21.87]这种观念是危险的
[01:24.19]有欺骗性的
[01:26.09]只要发动一下想象力
[01:28.94]我们就能想出一些与欧几里得几何教科书中所讲述的空间大不相同的三维空间来
[01:37.86]要想象这样一些古怪的空间
[01:40.99]主要的困难在于
[01:42.81]我们本身也是三维空间中的生物
[01:46.57]我们只能从内部来观察这个空间
[01:50.39]而不能像在观察各种曲面时那样从外面去观察
[01:56.22]不过
[01:57.12]我们可以通过做几节脑筋操
[02:00.06]使自己在征服这些怪空间时不至过于困难
[02:05.72]首先
[02:06.90]让我们建立一种性质与球面相类似的三维空间模型
[02:13.18]球面的主要性质是
[02:15.73]它没有边界
[02:17.31]但却具有确定的面积
[02:19.97]它是弯曲的
[02:21.49]自我封闭的
[02:23.57]能不能设想一种同样自我封闭
[02:26.99]从而具有确定体积而无明显界限的三维空间呢
[02:33.33]设想有两个球体
[02:35.74]各自限定在自己的球形表面内
[02:39.14]如同两个未削皮的苹果一样
[02:42.58]现在设想这两个球体互相穿过
[02:47.08]沿外表面粘在一起
[02:50.21]当然
[02:50.83]这并不是说两个物理学上的物体如苹果能被挤得互相穿过并把外皮粘连在一起
[03:00.41]苹果哪怕是被挤成碎块
[03:02.71]也不会互相穿过的
[03:06.08]或者
[03:06.98]我们不如设想有个苹果被虫子吃出弯曲盘结的隧道来
[03:13.96]要设想有两种虫子
[03:16.32]比如说一种黑的和一种白的
[03:20.26]他们互相憎恶
[03:21.76]互相回避
[03:23.32]因此苹果内两种虫蛀的隧道并不相通
[03:28.70]尽管在苹果皮上
[03:30.60]它们可以从紧挨着的两点注食进去
[03:34.68]这样
[03:35.00]一个苹果被这两条虫子蛀来蛀去
[03:38.78]就会像图十八那样
[03:40.78]出现互相紧紧缠结
[03:43.20]布满整个苹果内部的双股隧道
[03:47.54]但是
[03:48.68]尽管黑虫和白虫的隧道可以很接近
[03:52.96]要想从这两座迷宫中的任一座跑到另一座去
[03:57.34]却必须先走到表面才行
[04:01.06]如果设想隧道越来越细
[04:03.62]树木越来越多
[04:05.66]最后就会在苹果内得到互相交错的两个独立空间
[04:11.34]它们仅仅在公共表面上相连
[04:16.06]如果你不喜欢用虫子做例子
[04:19.20]不妨设想一种类似纽约的世界贸易大厦这座巨大球形建筑里的那种双过道双楼梯系统
[04:29.18]设想每一套楼梯系统都盘过整个球体
[04:34.41]但要从其中一套的一个地点到达临近一套的另一个地点
[04:39.89]只能先走到球面上两套楼道汇合处再往里走
[04:45.41]我们说
[04:46.03]这两个球体互相交错而不相妨碍
[04:50.53]你和你的朋友可能离得很近
[04:53.53]但要见见面
[04:54.87]握握手
[04:56.05]却非得兜一个好大的圈子不可
[04:59.47]必须注意
[05:00.97]两套楼道系统的连接点
[05:03.63]实际上与球内的各点并没有什么不同之处
[05:08.18]因为你总是可以把整个结构变变形
[05:12.34]把连接点弄到里面去
[05:15.00]把原先在里面的点弄到外面来
[05:18.64]还要注意
[05:19.96]在这个模型中
[05:21.82]尽管两套隧道的总长度是确定的
[05:25.02]却没有死胡同
[05:27.18]你可以在楼道中走来走去
[05:29.70]绝不会被墙壁或栅栏挡住
[05:33.24]只要你走得足够远
[05:35.24]你一定会在某个时候重新走到你的出发点
[05:40.45]如果从外面观察这个结构
[05:42.91]你可以说
[05:44.47]在这迷宫里行走的人总会回到出发点
[05:48.93]只不过是由于楼道逐渐弯曲成球形
[05:53.59]但是
[05:54.35]对于处在内部
[05:55.99]而且不知外面为何物的人来说
[05:59.52]这个空间就表现为具有确定大小而无明确边界的东西
[06:06.18]我们在下一章将会看到
[06:08.60]这种没有明显边界
[06:10.84]然而并非无限的自我封闭的三维空间
[06:15.62]在一般的讨论宇宙的性质时
[06:18.20]是非常有用的
[06:20.50]事实上
[06:21.86]过去用最强大的望远镜所进行的观察
[06:26.06]似乎表明了
[06:27.78]在我们视线的边缘这样远的距离上
[06:31.14]宇宙好像开始弯曲了
[06:34.40]这显示出它有折回来
[06:36.36]自我封闭的明显趋势
[06:39.44]就像那个被注释出隧道的苹果的例子一样
[06:43.90]不过
[06:44.98]在研究这些令人兴奋的问题之前
[06:48.14]我们还得再知道空间的其他性质
[06:53.34]我们跟苹果和虫子的交道还没有打完
[06:57.16]下一个问题是
[06:59.12]能否把一只被虫子住过的苹果变成一个面包圈
[07:04.88]当然
[07:05.84]这并不是说把苹果变成面包圈的味道
[07:10.56]而只是说形状变得一样
[07:13.84]我们所研究的是几何学
[07:15.98]而不是烹饪法
[07:18.64]让我们取一只前面讲过的双苹果
[07:21.86]也就是两个互相穿过并且表皮粘连在一起的苹果
[07:27.78]假设有一只虫子在其中一只苹果里筑出了一条环形隧道
[07:34.54]记住
[07:35.58]只是一只苹果里住的
[07:38.26]所以在隧道外的每一点都是属于两个苹果的双重点
[07:45.07]而在隧道内
[07:47.29]则只是那个未被注过的苹果的物质
[07:51.35]这个双苹果现在有了一个由隧道内壁构成的自由表面
[07:58.13]如果假设苹果具有很大的可塑性
[08:01.81]怎么捏就怎么变形
[08:04.95]在要求苹果不发生裂口的条件下
[08:08.45]能否把这个被虫子蛀过的苹果变成面包圈呢
[08:13.49]为了便于操作
[08:15.11]可以把苹果切开
[08:17.47]不过在进行过必要的变形后
[08:20.33]还应把原切口粘起来
[08:24.03]首先
[08:25.25]我们把粘住这双苹果的果皮的胶质去除
[08:30.05]将两个苹果分开
[08:32.31]用一和一撇这两个数字表示这两张表皮
[08:38.03]以便在下面各步骤中叮住它们
[08:41.55]并在最后重新把它们粘起来
[08:45.19]然后
[08:46.15]把那个被筑出一条隧道的苹果沿隧道切开
[08:50.97]这一下又切出两个新面来
[08:54.23]记之以二和二撇和三三撇
[08:58.77]将来还是要把它们粘回去的
[09:02.33]现在
[09:03.47]隧道的自由面显示出来了
[09:06.35]它应该成为面包圈的自由面
[09:09.60]好
[09:10.78]现在就来摆弄这几块零碎
[09:14.80]现在这个自由面被拉伸成老大一块了
[09:19.12]不过按照我们的假定
[09:21.58]这种物质是可以任意伸缩的
[09:25.11]而切开的面
[09:26.51]一 二
[09:26.99]三的尺寸都变小了
[09:29.71]与此同时
[09:31.05]我们也对第二个苹果进行手术
[09:34.53]把它缩小成樱桃那么大
[09:37.25]现在开始往回粘
[09:39.93]第一步
[09:40.73]先把三三撇粘上
[09:43.25]这很容易做到
[09:45.24]粘成后
[09:47.02]第二步
[09:47.98]把缩小的苹果放在第一个苹果所形成的两个夹口中间
[09:53.34]收拢两个夹口
[09:55.20]球面一就和一撇重新粘在一起
[09:59.20]被切开的面二和二撇也再结合起来
[10:03.76]这一来
[10:04.84]我们就得到一个面包圈
[10:07.26]光溜溜的
[10:08.46]多么精致
[10:10.76]搞这些有什么用呢
[10:13.10]没有什么用
[10:14.60]只不过让你做做脑筋操
[10:17.10]体会一下什么是想象的几何学
[10:20.85]这有助于理解弯曲空间和自我封闭空间这类不寻常的东西
[10:27.67]如果你愿意让你的想象力走得更远一些
[10:31.61]那么我们可以来看看上述做法的一个实际应用
[10:37.41]你大概从来也没有意识到过
[10:40.47]你的身体也具有面包圈的形状吧
[10:44.71]事实上
[10:46.09]任何生命有机体在其发育的最初阶段
[10:50.49]都经历过胚囊这一过程
[10:53.95]在这个阶段
[10:55.31]它呈球形
[10:57.28]当中横贯着一条宽阔的通道
[11:00.92]食物从通道的一端进入
[11:03.44]被生命体摄取了有用成分以后
[11:06.72]剩下的物质从另一端排出
[11:10.52]到了发育成熟的阶段
[11:12.84]这条内部通道就变得越来越细
[11:16.24]越来越复杂
[11:18.20]但最主要的性质依然如故
[11:21.58]面包圈形体的所有几何性质都没有改变